在北京东城区公司完成股权变更登记后，税务是否需要变更取决于具体情况。具体分析如下：

需要变更的情况：如果股权变更导致了公司税务登记内容的重大变化，比如影响了纳税人的身份、税种、税目、税率等，或者涉及注册资本增减、法定代表人更替、注册地址迁移等，那么就需要按照相关法律规定，及时向税务机关申报办理变更税务登记。

无需变更的情况：如果仅仅是股东发生变更，而公司的注册资本、法定代表人、注册地址、经营范围等关键信息未发生变化，那么税务登记通常不需要进行变更。